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数学模型数学建模作业_微分方程实验

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2 微分方程实验
1、微分方程稳定性分析 绘出下列自治系统相应的轨线,并标出随 t 增加的运动方向,确定*衡点, 并按稳定的、渐*稳定的、或不稳定的进行分类:

? dx ? dx ? dx ? dx ? x, ? ? ? x, ? ? y, ? ? x +1, ? ? ? dt ? dt ? dt ? dt (1) ? (2) ? (3) ? (4) ? dy dy dy ? ? y; ? ? 2 y; ? ? ?2 x; ? dy ? ?2 y. ? dt ? dt ? dt ? dt ? ? ? ?
2. 一个片子上的一群病菌趋向于繁殖成一个圆菌落。设病菌的数目为 N,单位 dN ? r1 ? N ,但是,处于周界表面的 成员的增长率为 r1,则由 Malthus 生长律有 dt 那些病菌由于寒冷而受到损伤,它们死亡的数量与 N1/2 成比例,其比例系数为 r2,求 N 满足的微分方程.不用求解,图示其解族.方程是否有*衡解,如果有, 是否为稳定的?

3、单种群开发模型
dx x ?( r 1- )x-Ex dt N 在不求解的情况下,绘出其解族曲线。(2)用数学表达式证明:在稳定状态下, r 最优捕捞率为 E*= 2

考虑单种群开发方程:

4、有限资源竞争模型:

? dx1 ? x1[?a1 ? c1 (1 ? b1 x1 ? b2 x2 )] ? ? dt ? 微分方程 ? dx2 ? x2 [?a2 ? c2 (1 ? b1 x1 ? b2 x2 )] ? ? dt
是两个物种为了共同的有限资源而竞争的模型,假设 c1>a1,c2>a2。试用微分
a1 a2 a1 a2 ? ? x ( t ) ? 0( t ? ? ); c c c c2 1 1 2 1 方程稳定性理论分析: (1)如果 ,则 (2)如果

则 x2 (t ) ? 0(t ? ?); (3)用图形分析方法来说明上述两种情况

5 加分实验(餐厅废物的堆肥优化问题) 一家环保餐厅用微生物将剩余的食物变成肥料。餐厅每天将剩余的食物制 成桨状物并与蔬菜下脚及少量纸片混合成原料,加入真菌菌种后放入容器内。 真菌消化这此混合原料,变成肥料,由于原料充足,肥料需求旺盛,餐厅希望 增加肥料产量。由于无力购置新设备,餐厅希望用增加真菌活力的办法来加速 肥料生产.试通过分析以前肥料生产的记录(如表 2.1 所示),建立反映肥料生成机 理的数学模型,提出改善肥料生产的建议。




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