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高等数学第七章讲解.ppt

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第六节 空间直线及其方程 一、空间直线的一般方程 二、空间直线的对称式方程 和参数式方程 三、两直线的夹角 四、直线与*面的夹角 一、空间直线的一般方程 定义 空间直线可看成两*面的交线. 1 : A1 x B1 y C1z D1 0 2 : A2 x B2 y C2z D2 0 z 空间直线的一般方程 1 A1 x B1 y C1z D1 0 2 A2 x B2 y C2z D2 0 L o y x 二、空间直线的对称式方程与参数方程 方向向量的定义: z 如果一非零向量*行于一 s L 条已知直线,这个向量称为 这条直线的方向向量. o y 记为s (m, n, p). x 直线的任一方向向量的三个坐标m,n,p 叫做该直线的一组方向数. 方向向量的余弦称为直线的方向余弦. 建立直线方程 设M0( x0 , y0 , z0 ), s (m, n, p). M( x, y, z) L, z s L 有 M0M (x x0, y y0, z z0) 且 M0M// s M0 o M y 即 x x0 y y0 z z0 x m n p 直线的对称式方程或点向式方程 说明: 在直线方程中某些分母为零时, 其分子也 理解为零. 例如 x2 y z5 002 表示 x y 2 , 0 即*行于z轴的直线. 而 x2 y z5 表示 y 3 z5 2 0 32 x 2 即*行于yOz面(在*面x=2上)的直线. 点向式方程 x x0 y y0 z z0 m n p 令 x x0 y y0 z z0 t 则 m n p 直线的参数方程 x x0 mt y y0 nt z z0 pt 例1 一直线过点 A(2,3,4),且与直线 x 1 y z 2*行,求其方程. 4 1 3 解 已知直线的方向向量为 s1 (4, 1,3), 依题意,所求直线与已知直线*行, 故可取直线的方向向量 s s1 (4, 1, 3), 因此所求直线方程为 x2 y3 z4. 4 1 3 例2 用对称式方程及参数方程表示直线: x y z 2x y 1 0 3z 4 . 0 解 在直线上任取一点 ( x0 , y0 , z0 ) 取 x0 1 y0 y0 z0 2 0 , 3z0 6 0 解得 y0 0, z0 2 点的坐标 (1,0,2), 因所求直线与两 *面 的法向量都垂直 i jk 取 s n1 n2 1 1 1 (4, 1, 3), 2 1 3 对称式方程 x 1 y 0 z 2 , 4 1 3 x 1 4t 参数方程 y t . z 2 3t 三、两直线的夹角 定义 两直线的方向向量的夹角(锐角) 称为两直线的夹角. 直线L1 : s1 (m1, n1, p1 ) 直线L2 : s2 (m2 , n2 , p2 ) 则两直线的夹角公式: L1 s1 L2 s2 cos(L1, L2 ) s1 s2 s1 s2 | m1m2 n1n2 p1 p2 | m12 n12 p12 m22 n22 p22 两直线的位置关系: (1) L1 L2 m1m2 n1n2 p1 p2 0, (2) L1 // L2 m1 n1 m2 n2 p1 , p2 例如, 直线 L1 : s1 (1, 4, 0), 直线 L2 : s2 (0,0,1), s1 s2 0, s1 s2 , 即 L1 L2 . 例3 求过点(3, 2,5)且与两*面 x 4z 3 和2x y 5z 1的交线*行的直线方程. 解 设所求直线的方向向量为 s (m, n, p), 根据题意知 s n1 , s n2 , 取 s n1 n2 (4,3,1), 所求直线的方程 x 3 y 2 z 5 . 4 3 1 四、直线与*面的夹角 定义 直线 和(0它 在*面) 上的投影直n 线s的夹角 2 称为直线与*面的夹角. L : x x0 y y0 z z0 , s (m, n, p), m n p : Ax By Cz D 0, n ( A, B,C), 由图知 (s,n) 2 (s,n) 2 sin cos(s,n) 直线与*面的夹角公式 sin s n | Am Bn Cp | sn A2 B2 C 2 m2 n2 p2 直线与*面的位置关系: (1) L A B C . mn p (2) L // Am Bn Cp 0. 例4 求过点(1,-2 , 4) 且与*面 垂直的直线方程. 解 取已知*面的法向量 n (2, 3, 1) (1,-2 , 4) n 为所求直线的方向向量. 则直线的对称式方程为 x1 2 y2 -3 z4 1 例5 设直线L : x 1 y z 1,*面 2 1 2 : x y 2z 3,求直线与*面的夹角. 解 n (1,1,2), s (2,1,2), sin | Am Bn Cp | A2 B2 C 2 m2 n2 p2 | 1 2 (1) (1) 2



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