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数学模型及数学建模竞赛中的常微分方程模型

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数学模型 数学模型及 数学建模竞赛中的 模型及数学建模竞赛 建模竞赛中的常微分方程模型 中的常微分方程模型 朱思铭

一、数学模型
1. 数学模型与 数学模型与经济竞争力 计算机技术的发展引发了信息革命,美国为保持高技术和经济竞争力的优 势,在廿世纪八十年代曾组织委员会撰写了“数学科学、技术与经济竞争力”的 报告, 提出: 数学科学对经济竞争是必不可少的. 数学是一种关键性的、 普遍的、 可实行的技术. 计算和建模重新成为中心课题. 这是来自数学科学的技术转化 的主要途径. 报告还长提到人才培养问题, 建议发展教材的内容以支持模型的教 学以及数学在工业中的应用的教学.

2. 数学模型与科学发展 数学模型与科学发展 (1) 数学模型与科学新发展观 现代科学方法论----新三论 1. I.Prigogine 2. R.Thom 3. H.Haken 耗散结构论 突变论 协同论

分支、混沌、分形几何 (2) 混沌的发现被称为“利用牛顿的定律推翻了牛顿决定论” (2) 数学模型与科学发展 孤立子的发现促进了激光的发展

二、常微分方程模型
1 数学和应用数学 数学和应用数学 (1) 由几何图形产生的常微分方程 (2) 传递函数 (3) 最优控制 2 物理、 物理、力学 (1) 动力学 由牛顿运动定律,建立物体运动的微分方程. (2) 热力、磨擦和弹性、塑性

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(3) 电子线路 (4) 轨道计算与 n 体问题 (5) 质点振动 3 化学、 化学、生物、 生物、生命和医学 (1) 各种混合、增长与放射性衰减问题 (2) 化学反应动力学 (3) 微生物化学反应 (4) 生态数学与人口学 (5) 传染病 (6) 生命起源、DNA 4 工程技术和社会科学 工程技术和社会科学 (1) 结构工程 (2) 气象预测 (3) 交通 (3) 经济、金融 (4) 技术发展 (5) 作战模型 (6) 控制系统

三、常微分方程具体 常微分方程具体模型 具体模型《 模型《常微分方程学*辅导与*题解答》 常微分方程学*辅导与*题解答》
1. 总述 (1) 几何图形构成的微分方程 (3) 经典力学 (6) 社会科学 2. 一阶微分方程 (1) 运动速度与位置 (4) 容器流出量 (7) 经济增长模型 3. 一阶微分方程(续) (1) 曲线轨迹 (2) 正交曲线
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(2) 物理现象产生的微分方程 (5) 控制系统

(4) 化学动力学 (7) 生命科学

(2) 物体冷却过程 (5) 放射性衰变

(3) 气体混合 (6) 草履虫群体增长

(3) 圆筒壁传热

(4) 年代的判断与艺术品防伪 4. 二阶及高阶微分方程 (1) 追赶轨迹 (4) 自由端的弹性梁 (2) 悬链线

(5) 技术革新的推广速度

(3) 倒置摆与 Hill 方程

(5) 减振器与陷波器 (7) 人造卫星的运行轨道

(6) 开普勒定律和牛顿万有引力定律 5. 微分方程组 (1) 炮弹的运动轨迹 (3) 糖尿病检测

(2) 药物动力学的房室模型 (4) 兰彻斯特战斗理论 (6) 刚体运动与陀螺仪

(5) 质点动力学和三体问题 (7) 飞机的运动 6. 非线性微分方程(组) (1) 综合国力与经济调整模型 (4) 疾病模型 (7) 地中海鲨鱼

(8) 电子电路的微分方程

(2) 电子管振动电路

(3) 生态模型

(5) 价格均衡模型 (8) 加拿大山猫循环

(6) 植物生长模型

(9) 直接控制系统的绝对稳定性 7. 一阶偏微分方程 (1) 人口发展方程 (2) 交通流

(10) 混沌普遍性实例

(3) 流体动力学、贝努利定律与容器小孔液体流 (4) 电报方程 (6) 数学物理方程 8. 边值问题 (1) 导弹跟踪 (3) 弹性基础上的梁 (5) 固定端点的弦振动 (2) 弹性理论与梁的弯曲 (4) 压杆弯曲的临界力 (5) 非线性行波方程的常微分方程方法

四、数学建模竞赛中的常微分方程模型 1.大学生与研究生数学建模竞赛
在计算机技术、信息革命的背景下,美国在大力发展应用数学和数学及在大 学中开设数学建模课程的基础上,从 1985 年开始举办通讯比赛:美国大学生数 学建模竞赛(Mathematical Contest Modeling, 简称 MCM). 每年一届,一般在 2
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月份的一个周末,时间 3 天,以三人为一队(可配一教练),竞赛出 A、B 两题, 各组可任选一题,最后以论文形式提交结果. 1999 年起又同时举办美国大学生 交叉学*>喝(Interdisciplinary Contest Modeling, 简称 ICM). MCM 和 ICM 允许外国参加. 现已有 10 多个国家 200 多队参加竞赛. 我国大学生自 1989 年起参加 MCM 竞赛,1999 年起也参加 ICM 竞赛. 并取得优异成绩. 我国仿照美国 MCM 模式,1990、1991 年曾在北京、上海等地举办大学生数 学建模竞赛. 1992 年起由中国工业与应用数学学会组织举办全国大学生数学建 模竞赛(简称 CUMCM). 1993 年起国家教委高教司发文认可,并将它作为推动高等 学校加强教学工作,深化教学改革,培养学生的创造精神的重要活动之一. 根据全国大学生数学建模竞赛章程,竞赛题目一般来源于工程技术和管理 科学等方面经过适当简化加工的实际问题, 不要求参赛者预先掌握深入的专门知 识,只需要学过普通高校的数学课程。题目有较大的灵活性供参赛者发挥其创造 能力.参赛者应根据题目要求,完成一篇包括模型的假设、建立和求解、计算方 法的 设 计和计算机实现、结 果 的分 析 和 检验 、模型的 改 进 等 方 面 的论 文 ( 即答 卷).竞赛评奖以假设的合理性、建模的创造性、结果的正确性和文字表述的清 晰程度为主要标准. 全国大学生数学建模竞赛采取通讯竞赛方式,全国统一竞赛题目;竞赛一 般在每年 9 月第 3 周末的三天内举行. 大学生以队为单位参赛,每队 3 人,专业 不限.研究生不得参加;每队设一名指导教师(或教师组),从事赛前辅导和参赛 的组织工作,但在竞赛期间不得进行指导或参与讨论;竞赛期间参赛队员可以使 用各种图书资料、IT、计算机和软件但不得与队外任何人讨论. 全国大学生数学建模竞赛已举办了 10 多年, 现在每年都有几百间高等院 校、几千名大学生参加竞赛. 2004 年起东南大学朱道元教授联合全国 33 所高等院校研究生院共同发起举 办全国研究生数学建模竞赛. 仍是 3 人一队全国统一赛题的通讯竞赛, 但建模竞 赛题目有四个供选择. 时间为四天,在每年九、十月间. 2006 年全国有 27 个省 的 138 个研究生培养单位的 830 多队硕士、博士研究生参赛. 教育部曾指出“全 国研究生数学建模竞赛......逐渐成为广大研究生探索实际问题、开展学术交流、 提高科研能力和培育团队意识的有效*台。 研究生数学建模竞赛组织委员会还将

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建立全国数学建模互助医院网、全国研究生数学建模论坛,进一步推动数学建模 的发展. 2. 数学建模竞赛中的常微分方程模型 数学建模竞赛中的常微分方程模型 不管是大学生或研究生数学建模竞赛,由于仅三、四天时间,竞赛题目又 要来源于工程技术和管理科学等方面的实际问题,还要应用计算机,且不要求参 赛者预先掌握深入的专门知识. 加上常微分方程仅在数学和应用数学专业中作 为必修课, 而在工科及其他专业中常微分方程仅作为高等数学这门课中的一部份 讲授,因此竞赛题目一般是综合性的,不会涉及常微分方程的较专门的内容. 但 常微分方程模型作为数学模型的一个部份,在大学生和研究生数学建模竞赛中, 亦会出现可用常微分方程模型求解的赛题. 下面介绍在大学生和研究生数学建模竞赛赛题及数学建模辅导中出现的一 些常微分方程模型. 值得注意的是竞赛题目往往可用多种方法求解, 而且题目多 是综合性的,即使可以建立常微分方程模型,其模型及其求解往往只是竞赛题目 中的一个组成部份.有些竞赛题目有大量的数据和说明,介绍时作了删简,要详 细了解可看参考文献. (1) MCM85A 动物群体的管理 [《工科数学》专辑 p171]

在一个资源有限(有限的食物、空间、水等等)的环境里发现天然存在的动 物群体. 试选择一种鱼类或哺乳动物(如北美矮种马、鹿、兔、鲑鱼、带条纹的 欧洲鲈鱼)以及一个你能获得适当数据的环境,并形成一个对该动物群体的捕获 量的最佳方针. 优秀论文与评述参看《工科数学》9:1(1993),35-39. (2) SUMCM90A 局部脑血流量侧定(注:S 为上海) [《工科数学》专辑 p25] 用放射性同位素测量大脑局部血流量的方法如下:由受试者吸入含某放射 性同位素的气体,然后将探测器置于受试者头部某固定处,定时测量该处的放射 性记数率,同时测量他呼出气的记数率.实验证明由脑血流引起局部地区计数率 下降的速度与当时该处的记数率成正比,其比例系数反映该处的脑血流量,被称 为脑血流量系数.已知某受试者的从 1.00 分至 10.00 分的测试数据 37 组(含时间, 头部记数率, 呼出气记数率).试建立确定血流系数的数学模型并计算上述受试 者的脑血流量系数.

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模型解答见[《工科数学》专辑 p186]及谭永基、俞文此《数学模型》复旦 大学出版社 p.123. (3) MCM93A 加速餐厅剩莱堆肥的生成 [《工科数学》专辑 p32]

学校餐厅用微生物把吃剩的食均再循环生成堆肥。试决定喂给真菌培养物 的混合物中泥浆(粘结剂)、 绿叶莱和纸片的比例与真菌培养物生成堆肥的速度间 是否存在关,认为不存在请说明理由,认为存在试决定最佳比例. 数据中列出 12 次泥浆、绿叶莱和纸片的磅数及对应的喂入日期和生成堆肥 日期(年,月,日). 除写出技术报告外, 请为餐厅经理提供一页长的用非技术术浯 表示的实施建议. 其中一篇优秀论文题目为“混合物转化为有机肥的最佳过程” ,文中首先用 统计包对数据进行相关分析,并计算了混合物中碳(C)对氮(N)的比率,分析出环 境温度的影响. 将 12 次数据的以 4 次为一周期分为三个周期. 文中进一步为堆 肥过程建立模型: ? w '(t ) = ? kf (t ), ? ? f '(t ) = g (T , R) f (t )[m(T ) w(t ) ? f (t )] 其 中 w(t ) 为混合物重量 , k 为分 解 率 , f (t ) 为培养 液 中微生物数量 , T 为 环 境温 度, m(T ) 为每磅混合物中所含培养液的微生物数量上界, R 为 C / 为微生物增长或死亡系数. 文中采用数值计算,分析了参数的选取. 利用第一个周期的数据,通过调整 参数 k , g (T , R ), m(T ) 使方程的解与数据相符,从而确定有关参数.得到的结果用于 第二、 三周期的预测,数据除了 1 次外均高度吻合,误差在两天之内. 根据模型分 析,提出了相应建议. 最后还讨论了模型的优缺点. (4) CUMCM96A 最优埔鱼策略 [优秀论文汇编(1992-2000).p146—189] 比率, g (T , R )

某种鱼分 4 个年龄组, 各年龄组每条鱼*均重量( g )为 5.07,11.55,17.86, 22.99,自然死亡率均为 0.8(1/年).这种鱼季节性在每年最后 4 个月集中产卵繁 殖,*均 4 龄鱼产卵量为 1.109 × 105 个,3 龄鱼减半,1、2 龄鱼不产卵.卵孵化成活 为 1 龄鱼,成活率为 1.22 ×1011 /(1.22 × 1011 + n) ( n 为产卵数). 渔业部门规定,每年只允许在卵孵化期前的 8 个月内捕捞,使用只捕 3、4
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龄鱼的 13mm 网眼的拉网,捕捞强度为 0.42:1(单位时间捕捞量与鱼数之比).要 求(1)建立数学模型分析如何实现可持续捕捞, 计算由此得到的最高年收获量;(2) 某渔业公司承包其捕捞业务 5 年,合同要求可持续捕捞.已知承包时各年龄组鱼 为 122 ×109 , 29.7 × 109 ,10.1× 109 ,3.29 × 109 ,公司应采取怎样的策略才能使总收获量 最高? 各龄鱼在 1 年内因死亡和捕捞是递减的,可用如下方程模拟:
d i (t ) = ?(qi F + M ) ? i (t ), i = 3, 4 dt d i (t ) = ? M ? i (t ), i = 1, 2 dt

其中

i

为 i 龄鱼数目, M 为死亡率, q3 = 0.42, q1 = 1 为捕捞强度系数, F 为捕
i

捞努力量. 上方程有解,由年初各龄鱼条数

(0) 可解得头 8 个月和年末的鱼群

数. 通过仔细分析,控制捕捞努力量使各龄鱼数目比固定以实现可持续捕捞. (5) CUMCM03A SARS 的传播 [《工程数学学报》20:*(2003)]

请你们对 SARS 的传播建立数学模型,具体要求如下: (a)对附件 1 所提供的一个早期的模型,评价其合理性和实用性。 (b)建立你们自己的模型。 (c)收集 SARS 对经济某个方面影响的数据,建立相应的数学模型并进行 预测。 (d)给当地报刊写一篇通俗短文,说明建立传染病数学模型的重要性。 (6) MCM1994A 混凝土地板的温度变化 [《工科数学》专辑 p29]

HUP 公司正在位于全年温度变化不大的温带地区建住宅,你们被雇用为顾问 来分析混凝土厚板地板中的温度变化,由此决定地板表面的*均温度能否全年保 持在舒适范围内.如果可能的话,什么样的尺寸和形状能做到这一点?第一部分: 地板温度分析;第二部分:建筑物温度变化;第三部分:建筑费用讨论. 美国北卡科学和数学学校 (North Carolina School of S. and M.) 队优 秀论文提出创新的供热技术中提出三个模型进行分析.其基础是混凝土杆模型热 传 导 热流
T ?T dQ = kC a 和 dQ = mcdT 而 化为 T 的微分方程. 而 将 混 凝土 分 割 为 dt r

楔形处理.问题是热流公式中前一个通过一点的热量,后一个是存贮在一点的热 量,两者概念不同.而楔子不是均匀的等截面杆,不能把混凝土分割为楔形处理!

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但对该队的很好的尝试还是值得祝贺. 优秀论文评述参看《大学生数学建模竞赛辅导教材(四)》p.23~44. (7) NPMCM06B 确定高精度参数问题 考虑捕食模型

? x '(t ) = x(t )[α1 + α 2 y (t )] ? ? y '(t ) = y (t )[α 3 + α 4 x(t )]
初始条件为

? x(t0 ) = α 5 ? ? y (t0 ) = α 6
其 中 α k (1 ≤ k ≤ 6) 为 模 型 的 待 定 参 数 . 通 过 观 察 , 得 到 一 组 观 察 数 据
{t j , x(t j ), y (t j )} ,见文件 DADT1~DADT4.利用这些数据,要求解决(1)在观察数据无

误差的情况下,若已知 α 2 = 1/ 5 ,求其余参数(DADT1.TXT).(2)在观察数据无误差 的 情况 下, 若 α 2 也 未 知, 问 至 少要 多 少组数 据, 才 能确 定 参 数(DADT1.TXT).(3) 在观察资料有误差(但时间变量不含误差)的情况下,试用观察数据 DADT2、3.TXT 确定参数在某种意义下的最优解,并与仿真结果比较,进而改进你们的模型.(4) 假设观察资料的时间变量也含有误差,试利用数据 DADT4.TXT 建立数学模型,确 定参数在某种意义下的最优解. 优秀论文与评述参看《数学认识与实践》9:1(1993),35-39.

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